💡 公式 + 使用条件 = 真正会用
查公式时最容易混淆的，不是公式本身，而是「什么时候能用、什么时候不能用」。这份手册把每条公式和它的使用条件、易错提醒放在一起，按同济七版高数 + 考研范围整理。
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⚠️ 五大易错提醒
🚨 最容易踩坑的五条
▼
易错 1等价无穷小 ≠ 随便用
\[
\sin x \sim x \quad (x\to 0)
\]
✅ 能用：乘除结构中整体替换，如 \(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\)、\(\sin x \cdot \ln(1+x)\)
❌ 不能用：加减式中直接替换，如 \(\sin x - x\) 不能写成 \(x - x = 0\)，要用泰勒展开到足够阶数
❌ 不能用：加减式中直接替换，如 \(\sin x - x\) 不能写成 \(x - x = 0\)，要用泰勒展开到足够阶数
易错 2洛必达法则 ≠ 万能
\[
\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
✅ 前提：必须是 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式，且右端极限存在（或为 \(\infty\)）
❌ 常见错：不是未定式也硬用；求导后极限不存在 ≠ 原式极限不存在（要换方法）
❌ 常见错：不是未定式也硬用；求导后极限不存在 ≠ 原式极限不存在（要换方法）
易错 3定积分换元要换限
\[
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)du
\]
✅ 三步：换元 → 换限 → 换微分（三换缺一不可）
❌ 常见错：元换了但上下限没换；或者算完不换回变量也不换限
❌ 常见错：元换了但上下限没换；或者算完不换回变量也不换限
易错 4闭区域最值 ≠ 只看驻点
\[
f_x = 0,\quad f_y = 0 \quad \text{只是必要条件}
\]
✅ 完整步骤：求内部驻点 → 求边界上的极值 → 所有点函数值比较大小
❌ 常见错：只算了内部驻点就当最值，忘了边界上可能更大/更小
❌ 常见错：只算了内部驻点就当最值，忘了边界上可能更大/更小
易错 5级数/广义积分先判敛
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \quad\text{和}\quad \int_a^{+\infty} f(x)dx
\]
✅ 原则：先判断收敛性，再进行逐项求导、积分、交换次序等操作
❌ 常见错：端点处直接套用收敛区间内的结论；奇点处直接用牛顿—莱布尼茨公式
❌ 常见错：端点处直接套用收敛区间内的结论；奇点处直接用牛顿—莱布尼茨公式
1 极限与连续
🔹 常用等价无穷小
▼
使用条件当 \(x \to 0\) 时才成立
等价无穷小是在某个极限过程下的等价关系，不是恒等式。x 必须是无穷小量（趋于 0）。
| 公式 | 使用条件 |
|---|---|
| \(\sin x \sim x\) | \(x \to 0\) |
| \(\tan x \sim x\) | \(x \to 0\) |
| \(\arcsin x \sim x\) | \(x \to 0\) |
| \(\arctan x \sim x\) | \(x \to 0\) |
| \(1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\) | \(x \to 0\) |
| \(\ln(1+x) \sim x\) | \(x \to 0\) |
| \(e^x - 1 \sim x\) | \(x \to 0\) |
| \(a^x - 1 \sim x\ln a\) | \(x \to 0,\ a>0,\ a\neq 1\) |
| \((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\) | \(x \to 0,\ \alpha\) 为常数 |
⚠️ 易错提醒
等价无穷小只能在乘除结构中整体替换，加减式一般不能直接替换。加减要用泰勒展开到足够阶数。
常用高阶泰勒展开（\(x \to 0\)）
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)
\]
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)
\]
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)
\]
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
\]
🔹 两个重要极限
▼
第一个重要极限
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]
推广形式：只要 \(\alpha(x) \to 0\)，就有 \(\displaystyle \frac{\sin \alpha(x)}{\alpha(x)} \to 1\)
第二个重要极限
\[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
\]
\[
\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e
\]
记忆：\(1^\infty\) 型未定式的标准处理方式
推广：若 \(u(x) \to 0,\ v(x) \to \infty\) 且 \(u(x)v(x) \to A\)，则 \((1+u)^{v} \to e^A\)
推广：若 \(u(x) \to 0,\ v(x) \to \infty\) 且 \(u(x)v(x) \to A\)，则 \((1+u)^{v} \to e^A\)
推论 三个常用推论
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
\]
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
\]
\[
\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a
\]
🔹 极限运算性质
▼
前提 \(f(x) \to A,\ g(x) \to B\)（极限都存在）
四则运算法则的前提是两个极限都存在。不存在时不能直接拆分。
四则运算
\[
\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B
\]
\[
\lim [f(x)g(x)] = AB
\]
\[
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}, \quad B \neq 0
\]
无穷小 × 有界量 = 无穷小
\[
\lim \alpha(x) = 0,\ |f(x)| \le M \implies \lim \alpha(x)f(x) = 0
\]
经典例子：\(\displaystyle \lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0\)（注意和第一个重要极限区别）
等价替换 乘除中可替换
\[
f(x) \sim g(x),\ h(x) \sim k(x) \implies \frac{f(x)}{h(x)} \sim \frac{g(x)}{k(x)}
\]
仅限乘除结构，加减一般不能直接替换。
🔹 洛必达法则
▼
三大条件 缺一不可
1️⃣ 未定式：必须是 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型
2️⃣ 可导性：在该点附近（除该点外）f 和 g 都可导，且 \(g'(x) \neq 0\)
3️⃣ 右端极限存在：\(\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷大
2️⃣ 可导性：在该点附近（除该点外）f 和 g 都可导，且 \(g'(x) \neq 0\)
3️⃣ 右端极限存在：\(\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在或为无穷大
法则
\[
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
转化 其他未定式的转化
\(0 \cdot \infty\)：写成 \(\frac{0}{1/\infty}\) 或 \(\frac{\infty}{1/0}\)，化为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\)
\(\infty - \infty\)：通分或有理化，化为分式
\(1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0\)：取对数 \( \ln y = g(x)\ln f(x) \)，化为 \(0 \cdot \infty\)
\(\infty - \infty\)：通分或有理化，化为分式
\(1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0\)：取对数 \( \ln y = g(x)\ln f(x) \)，化为 \(0 \cdot \infty\)
⚠️ 常见错误
右端极限不存在（也不是无穷大）时，不能推出原式极限不存在。此时洛必达法则失效，应改用其他方法。
2 导数与微分
🔹 基本导数公式
▼
| 函数 | 导数 | 备注 |
|---|---|---|
| \(C\)（常数） | \(0\) | — |
| \(x^\alpha\) | \(\alpha x^{\alpha-1}\) | \(\alpha\) 为常数 |
| \(e^x\) | \(e^x\) | — |
| \(a^x\) | \(a^x \ln a\) | \(a>0,\ a\neq 1\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(x>0\) |
| \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\ln a}\) | \(a>0,\ a\neq 1,\ x>0\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | — |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | — |
| \(\tan x\) | \(\sec^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(x \neq k\pi + \pi/2\) |
| \(\cot x\) | \(-\csc^2 x = -\dfrac{1}{\sin^2 x}\) | \(x \neq k\pi\) |
| \(\sec x\) | \(\sec x \tan x\) | — |
| \(\csc x\) | \(-\csc x \cot x\) | — |
反三角函数导数
| 函数 | 导数 | 定义域 |
|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(|x| < 1\) |
| \(\arccos x\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(|x| < 1\) |
| \(\arctan x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | 全体实数 |
| \(\operatorname{arccot} x\) | \(-\dfrac{1}{1+x^2}\) | 全体实数 |
🔹 导数运算法则
▼
四则运算
\[
(u \pm v)' = u' \pm v'
\]
\[
(uv)' = u'v + uv'
\]
\[
\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \quad v \neq 0
\]
链式法则 复合函数求导
\[
[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
记忆：从外到内一层一层乘，不要漏层
常见错：只对外层求导，忘了乘以内层导数
常见错：只对外层求导，忘了乘以内层导数
🔹 隐函数 / 参数方程 / 对数求导
▼
隐函数求导（\(F(x,y) = 0\)）
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}
\]
条件：\(F_y \neq 0\)（隐函数存在定理条件之一）
二阶导数：\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)，注意 \(y\) 仍然是 \(x\) 的函数
二阶导数：\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)，注意 \(y\) 仍然是 \(x\) 的函数
参数方程求导（\(x = x(t),\ y = y(t)\)）
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}
\]
\[
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{y''x' - y'x''}{(x')^3}
\]
易错：二阶导数不是 \(y''(t)/x''(t)\)！要先对 t 求导再乘 \(dt/dx\)
对数求导法（用于幂指函数）
\[
y = u(x)^{v(x)} \implies \ln y = v(x)\ln u(x)
\]
\[
\frac{y'}{y} = v'\ln u + v \cdot \frac{u'}{u}
\]
\[
y' = u^v \left(v'\ln u + v\frac{u'}{u}\right)
\]
也适用于多个因子乘除开方的复杂函数
微分
\[
dy = f'(x)dx
\]
\[
d[f(u)] = f'(u)du \quad \text{（一阶微分形式不变性）}
\]
\[
\Delta y \approx dy = f'(x)\Delta x \quad \text{（近似计算）}
\]
3 中值定理与泰勒公式
🔹 三大中值定理
▼
| 定理 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 罗尔定理 | \(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导，\(f(a)=f(b)\) | \(\exists \xi \in (a,b),\ f'(\xi) = 0\) |
| 拉格朗日 | \(f\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导 | \(f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)\) |
| 柯西 | \(f,g\) 在 \([a,b]\) 连续、\((a,b)\) 可导，\(g'(x) \neq 0\) | \(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\) |
⚠️ 关系
罗尔 → 拉格朗日 → 柯西，是逐步推广的关系。拉格朗日是柯西中 \(g(x)=x\) 的特例，罗尔是拉格朗日中 \(f(a)=f(b)\) 的特例。
🔹 泰勒公式
▼
泰勒展开（在 \(x_0\) 附近）
\[
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
\]
余项 拉格朗日余项
\[
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
\]
其中 \(\xi\) 在 \(x_0\) 与 \(x\) 之间。要求 \(f\) 有 \(n+1\) 阶导数。
麦克劳林公式（\(x_0 = 0\) 的特例）
\[
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x)
\]
常用 六个常见展开
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R}
\]
\[
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad x \in \mathbb{R}
\]
\[
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad x \in \mathbb{R}
\]
\[
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}, \quad -1 < x \le 1
\]
\[
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1
\]
\[
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots, \quad |x| < 1
\]
4 不定积分
🔹 基本积分公式
▼
注意 不定积分是一族函数，别忘了 + C
\(\int f(x)dx = F(x) + C\)，其中 \(F'(x) = f(x)\)。常数 C 容易漏写！
| 积分 | 结果 | 条件 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \int 0\,dx\) | \(C\) | — |
| \(\displaystyle \int x^\alpha dx\) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) | \(\alpha \neq -1\) |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | 绝对值别忘 |
| \(\displaystyle \int e^x dx\) | \(e^x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int a^x dx\) | \(\dfrac{a^x}{\ln a} + C\) | \(a>0,\ a\neq 1\) |
| \(\displaystyle \int \sin x\,dx\) | \(-\cos x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int \cos x\,dx\) | \(\sin x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int \tan x\,dx\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | 绝对值 |
| \(\displaystyle \int \cot x\,dx\) | \(\ln|\sin x| + C\) | 绝对值 |
| \(\displaystyle \int \sec^2 x\,dx\) | \(\tan x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int \csc^2 x\,dx\) | \(-\cot x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int \sec x \tan x\,dx\) | \(\sec x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int \csc x \cot x\,dx\) | \(-\csc x + C\) | — |
🔹 常见特殊积分（背！）
▼
| 积分 | 结果 | 条件 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | — |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(|x| < 1\) |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{a^2+x^2}\) | \(\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a} + C\) | \(a > 0\) |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{a^2-x^2}\) | \(\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(a > 0\) |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2-a^2}\) | \(\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(a > 0\) |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\dfrac{x}{a} + C\) | \(a > 0,\ |x| < a\) |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}\) | \(\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C\) | 双曲函数反函数 |
| \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}\) | \(\ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C\) | \(|x| > a > 0\) |
🔹 换元积分法
▼
第一类换元 凑微分法
\[
\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx = \int f(u)du \quad (u = \varphi(x))
\]
关键：识别出被积函数中有某函数的导数因子。多练常见凑微分形式。
常用凑微分形式
\[
\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C
\]
\[
\int f'(x)e^{f(x)}dx = e^{f(x)} + C
\]
\[
\int f'(x)[f(x)]^\alpha dx = \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C
\]
\[
\int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}dx = \arctan f(x) + C
\]
\[
\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}dx = \arcsin f(x) + C
\]
第二类换元 变量代换
\[
\int f(x)dx = \int f(\psi(t))\psi'(t)dt \quad (x = \psi(t))
\]
常见代换：三角代换（\(\sqrt{a^2-x^2}\) 令 \(x=a\sin t\)、\(\sqrt{x^2+a^2}\) 令 \(x=a\tan t\)）、倒代换、根式代换
🔹 分部积分法
▼
公式
\[
\int u\,dv = uv - \int v\,du
\]
u 选择顺序 反对幂三指
反三角函数 → 对数函数 → 幂函数 → 三角函数 → 指数函数
排在前面的选作 u，后面的放进 dv。因为越往后越容易积分，越往前越容易求导变简单。
排在前面的选作 u，后面的放进 dv。因为越往后越容易积分，越往前越容易求导变简单。
⚠️ 注意
分部积分后得到的积分应该比原来的简单，如果变复杂了说明 u 和 dv 选反了。
5 定积分
🔹 基本性质与牛顿—莱布尼茨
▼
基本性质
\[
\int_a^a f(x)dx = 0
\]
\[
\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx
\]
\[
\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx
\]
\[
\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha\int_a^b f(x)dx + \beta\int_a^b g(x)dx
\]
牛—莱公式 微积分基本定理
\[
\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \quad \text{其中 } F'(x) = f(x)
\]
条件：\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续（或可积且有原函数）
易错：有间断点（特别是无穷间断）时不能直接用，要按广义积分处理
易错：有间断点（特别是无穷间断）时不能直接用，要按广义积分处理
🔹 变上限积分求导
▼
前提 f 连续
\[
F(x) = \int_a^x f(t)dt \implies F'(x) = f(x)
\]
推广 上下限都是函数
\[
F(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)dt
\]
\[
F'(x) = f(\beta(x))\beta'(x) - f(\alpha(x))\alpha'(x)
\]
记忆：上限代入乘以上限导数，减去下限代入乘以下限导数
⚠️ 易错
被积函数中如果含有 x，必须先把 x 移到积分号外面（或换元）再求导，不能直接代入！
🔹 对称与周期
▼
奇偶对称 区间 [-a, a]
\[
f(x)\text{ 为偶函数：}\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx
\]
\[
f(x)\text{ 为奇函数：}\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0
\]
必须同时满足：对称区间 + 函数奇偶性，二者缺一不可
常用对称变形
\[
\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx
\]
\[
\int_0^{\pi/2} f(\sin x, \cos x)dx = \int_0^{\pi/2} f(\cos x, \sin x)dx
\]
周期函数 周期为 T
\[
f(x+T) = f(x) \implies \int_a^{a+T} f(x)dx = \int_0^T f(x)dx
\]
积分区间长度为一个周期时，积分值与起点无关
6 定积分应用
🔹 平面图形面积
▼
直角坐标（对 x 积分）
\[
S = \int_a^b [f_{\text{上}}(x) - g_{\text{下}}(x)]dx
\]
上边界减下边界。如果有交叉要分段，保证绝对值积分
直角坐标（对 y 积分）
\[
S = \int_c^d [x_{\text{右}}(y) - x_{\text{左}}(y)]dy
\]
右边界减左边界。选对积分变量可以简化计算
🔹 旋转体体积
▼
圆盘法 绕 x 轴
\[
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
\]
每个截面是半径为 f(x) 的圆盘
两函数之间（ washer 法）
\[
V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right)dx
\]
易错：是 \(R^2 - r^2\)，不是 \((R-r)^2\)！
圆柱壳法 绕 y 轴
\[
V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) dx
\]
对 x 积分不用反解函数，有时更方便
🔹 弧长与旋转曲面面积
▼
| 形式 | 弧长公式 |
|---|---|
| \(y = f(x)\) | \(L = \displaystyle \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx\) |
| 参数方程 \(x=x(t), y=y(t)\) | \(L = \displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\) |
| 极坐标 \(r = r(\theta)\) | \(L = \displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta\) |
旋转曲面 绕 x 轴
\[
S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx
\]
是圆周 \(2\pi y\) 乘以弧长元 ds，不是乘以 dx
7 广义积分
🔹 无穷区间与无界函数
▼
无穷区间 先求定积分再取极限
\[
\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx
\]
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty} f(x)dx
\]
两部分都收敛时，整体才收敛。不能因为 f 是奇函数就说对称区间上积分为 0。
无界函数 瑕积分
\[
f(x)\text{ 在 }b\text{ 附近无界：}\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx
\]
不能直接用牛顿—莱布尼茨公式！必须先确认被积函数在区间上是否有界
p 型积分 重要参照标准
| 积分 | 收敛条件 | 发散条件 |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}\) | \(p > 1\) | \(p \le 1\) |
| \(\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^p}\) | \(p < 1\) | \(p \ge 1\) |
⚠️ 注意区分
无穷区间和无界函数的 p 型积分收敛条件刚好相反：一个 p > 1 收敛，一个 p < 1 收敛。别搞混！
8 多元函数微分
🔹 偏导数与全微分
▼
偏导数定义
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) - f(x, y)}{\Delta y}
\]
对 x 求偏导时把 y 看作常数，反之亦然
全微分 可微的条件
\[
dz = f_x dx + f_y dy
\]
可微 ⇒ 偏导存在，但偏导存在 ≠ 可微
偏导连续 ⇒ 可微（充分条件）
可微 ⇒ 连续，但连续 ≠ 可微
偏导连续 ⇒ 可微（充分条件）
可微 ⇒ 连续，但连续 ≠ 可微
🔹 复合函数与隐函数
▼
链式法则 多元复合函数
\[
z = f(u,v),\ u = u(x,y),\ v = v(x,y)
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \frac{\partial v}{\partial x}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = f_u \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \frac{\partial v}{\partial y}
\]
有几个中间变量就有几项相加，每条路径对应一项乘积
隐函数偏导（\(F(x,y,z) = 0\)）
\[
z_x = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad z_y = -\frac{F_y}{F_z}
\]
条件：\(F_z \neq 0\)（隐函数存在定理）
🔹 方向导数与梯度
▼
梯度
\[
\nabla f = (f_x, f_y) \quad \text{（二元）}
\]
\[
\nabla f = (f_x, f_y, f_z) \quad \text{（三元）}
\]
方向导数 沿单位方向 e
\[
D_{\boldsymbol e} f = \nabla f \cdot \boldsymbol e = |\nabla f| \cos \theta
\]
梯度方向是方向导数最大的方向，最大值为 \(|\nabla f|\)
🔹 多元极值与拉格朗日乘数
▼
无条件极值 二元函数
必要条件：\(f_x = 0,\ f_y = 0\)（驻点）
判别：记 \(A = f_{xx},\ B = f_{xy},\ C = f_{yy},\ \Delta = AC - B^2\)
• \(\Delta > 0,\ A > 0\)：极小值
• \(\Delta > 0,\ A < 0\)：极大值
• \(\Delta < 0\)：鞍点（不是极值）
• \(\Delta = 0\)：无法判断，需用定义或更高阶
判别：记 \(A = f_{xx},\ B = f_{xy},\ C = f_{yy},\ \Delta = AC - B^2\)
• \(\Delta > 0,\ A > 0\)：极小值
• \(\Delta > 0,\ A < 0\)：极大值
• \(\Delta < 0\)：鞍点（不是极值）
• \(\Delta = 0\)：无法判断，需用定义或更高阶
拉格朗日乘数法 条件极值
\[
\text{求 } f(x,y) \text{ 在约束 } g(x,y)=0 \text{ 下的极值}
\]
\[
\nabla f = \lambda \nabla g
\]
即：
\[
f_x = \lambda g_x,\quad f_y = \lambda g_y,\quad g(x,y) = 0
\]
求的是可能的极值点，是否为极值/最值要结合问题背景或二阶判别
⚠️ 闭区域最值
求闭区域上的最值必须：内部驻点 + 边界上的极值一起比较，不能只看内部！
9 二重积分与三重积分
🔹 二重积分
▼
直角坐标
\[
\iint_D f(x,y) d\sigma = \int_a^b \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) dy\,dx
\]
交换积分次序时必须重新分析区域 D，画出图形最靠谱
极坐标变换 别漏了 r！
\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta
\]
\[
dxdy = r\,dr\,d\theta
\]
\[
\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,dr\,d\theta
\]
易错：面积元是 \(r dr d\theta\)，那个 r 最容易漏写！
🎯 什么时候用极坐标？
被积函数含 \(x^2 + y^2\)、积分区域是圆/扇形/圆环时，优先考虑极坐标
🔹 三重积分
▼
| 坐标系 | 体积元 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 直角坐标 | \(dV = dxdydz\) | 长方体、一般区域 |
| 柱坐标 | \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\) | 旋转体、含 \(x^2+y^2\) |
| 球坐标 | \(dV = \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\) | 球域、含 \(x^2+y^2+z^2\) |
球坐标 变量替换
\[
x = \rho \sin\varphi \cos\theta
\]
\[
y = \rho \sin\varphi \sin\theta
\]
\[
z = \rho \cos\varphi
\]
\(\varphi\) 是与 z 轴正方向的夹角（0 ~ π），\(\theta\) 是 xOy 面上的方位角（0 ~ 2π）
⚠️ 最容易漏
柱坐标体积元的 \(r\)、球坐标体积元的 \(\rho^2 \sin\varphi\)，都是考试高频丢分点
10 曲线与曲面积分
🔹 曲线积分
▼
第一类 对弧长的曲线积分
\[
\int_L f(x,y,z) ds = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt
\]
特点：与方向无关，ds > 0，积分结果总是下限 < 上限
第二类 对坐标的曲线积分
\[
\int_L Pdx + Qdy + Rdz = \int_a^b [P x'(t) + Q y'(t) + R z'(t)] dt
\]
特点：与方向有关，反向时结果变号
关系 两类曲线积分的联系
\[
\int_L Pdx + Qdy + Rdz = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) ds
\]
\((\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)\) 是曲线切向量的方向余弦
🔹 曲面积分
▼
第一类 对面积的曲面积分
\[
\iint_\Sigma f(x,y,z) dS
\]
若曲面为 \(z = z(x,y)\)：
\[
dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy
\]
与方向无关，dS > 0。投影到哪个坐标面看曲面方程形式
第二类 对坐标的曲面积分
\[
\iint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy
\]
若曲面为 \(z = z(x,y)\)，取上侧：
\[
= \iint_D (-P z_x - Q z_y + R) dxdy
\]
与方向（侧）有关，取下侧时 dxdy 前面变号。转换公式要记牢符号！
11 三大积分公式
🔹 格林公式（2D）
▼
条件 正向闭合曲线 + P,Q 有连续偏导
\[
\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy
\]
正向：人沿边界走，区域在左手边
不闭合时可补线用格林公式，再减去补的线上的积分
不闭合时可补线用格林公式，再减去补的线上的积分
🔹 高斯公式（3D）
▼
条件 闭合曲面外侧 + P,Q,R 有连续偏导
\[
\oiint_\Sigma (P dydz + Q dzdx + R dxdy) = \iiint_\Omega (P_x + Q_y + R_z) dV
\]
散度：\(\operatorname{div} \boldsymbol F = P_x + Q_y + R_z\)
不闭合时可补面用高斯公式，注意取外侧正向
不闭合时可补面用高斯公式，注意取外侧正向
⚠️ 奇点处理
如果被积函数在区域内有奇点（不连续），不能直接用高斯公式！要挖去奇点周围的小区域再用。
🔹 斯托克斯公式
▼
条件 闭合曲线张成曲面 + 右手定则
\[
\oint_L Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma (\nabla \times \boldsymbol F) \cdot \boldsymbol n\, dS
\]
旋度：
\[
\nabla \times \boldsymbol F = \begin{vmatrix}
\boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\
\partial_x & \partial_y & \partial_z \\
P & Q & R
\end{vmatrix}
\]
右手定则：拇指指向曲面法向，四指为曲线正向
12 常微分方程
🔹 一阶方程
▼
可分离变量
\[
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \implies \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx
\]
注意：分离时可能丢失了 \(g(y) = 0\) 的特解，最后要检查
一阶线性方程
\[
y' + P(x)y = Q(x)
\]
积分因子：\(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\)
\[
y \cdot \mu = \int Q(x)\mu(x) dx + C
\]
\[
y = e^{-\int Pdx} \left[ \int Q e^{\int Pdx} dx + C \right]
\]
必须先化成标准形式（y' 系数为 1）再用公式
伯努利方程
\[
y' + P(x)y = Q(x)y^n
\]
令 \(z = y^{1-n}\)，化为一阶线性方程
🔹 二阶常系数线性方程
▼
齐次方程 特征方程法
\[
y'' + py' + qy = 0
\]
特征方程：\(r^2 + pr + q = 0\)
| 特征根 | 通解形式 |
|---|---|
| 两不同实根 \(r_1, r_2\) | \(y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\) |
| 二重实根 \(r\) | \(y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}\) |
| 共轭复根 \(r = \alpha \pm \beta i\) | \(y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)\) |
非齐次方程 通解 = 齐通 + 特解
\[
y'' + py' + qy = f(x)
\]
\[
y = y_h + y^*
\]
\(y_h\) 是齐次方程通解，\(y^*\) 是一个特解。特解形式根据 f(x) 设：
• \(f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}\)：设 \(y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}\)（k 看 λ 是几重特征根）
• \(f(x) = e^{\alpha x}(P_l\cos\beta x + P_n\sin\beta x)\)：设 \(y^* = x^k e^{\alpha x}(R_m\cos\beta x + S_m\sin\beta x)\)
• \(f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}\)：设 \(y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}\)（k 看 λ 是几重特征根）
• \(f(x) = e^{\alpha x}(P_l\cos\beta x + P_n\sin\beta x)\)：设 \(y^* = x^k e^{\alpha x}(R_m\cos\beta x + S_m\sin\beta x)\)
13 无穷级数
🔹 重要参照级数
▼
| 级数 | 收敛条件 | 和（收敛时） |
|---|---|---|
| 几何级数 \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty q^n\) | \(|q| < 1\) | \(\dfrac{1}{1-q}\) |
| p 级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\) | \(p > 1\) | 无简单闭式 |
| 调和级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) | 发散 | — |
🔹 正项级数判别法
▼
| 判别法 | 形式 | 结论 |
|---|---|---|
| 比较判别法 | \(0 \le a_n \le b_n\) | \(\sum b_n\) 收 ⇒ \(\sum a_n\) 收 \(\sum a_n\) 发 ⇒ \(\sum b_n\) 发 |
| 极限比较 | \(\displaystyle \lim \frac{a_n}{b_n} = l,\ 0 < l < +\infty\) | 二者同敛散 |
| 比值判别（达朗贝尔） | \(\displaystyle \rho = \lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) | \(\rho < 1\) 收；\(\rho > 1\) 发；\(\rho = 1\) 不定 |
| 根值判别（柯西） | \(\displaystyle \rho = \lim \sqrt[n]{|a_n|}\) | 同上 |
⚠️ 注意
比值和根值判别法中，\(\rho = 1\) 时无法判断，要换用其他方法（比如比较判别法）。
🔹 交错级数与幂级数
▼
莱布尼茨判别法 交错级数
\[
a_n \ge 0,\ a_n \searrow 0 \implies \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n \text{ 收敛}
\]
余项估计：\(|R_n| \le a_{n+1}\)
这是充分条件，不满足时级数也可能收敛
这是充分条件，不满足时级数也可能收敛
幂级数收敛半径
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n
\]
\[
R = \frac{1}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}
\]
收敛域：在 \(|x-x_0| < R\) 内绝对收敛，端点需单独判断
逐项求导、积分后收敛半径不变，但端点情况可能改变
逐项求导、积分后收敛半径不变，但端点情况可能改变
逐项运算 在收敛区间内部
\[
\left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\]
\[
\int \sum_{n=0}^\infty a_n x^n dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + C
\]
收敛半径不变，但端点处的敛散性要重新验证